[선형 대수학] 4.3 공간의 직선과 평면

방향벡터, 벡터방정식, 법선벡터, 점과 평면사이의 거리 

• 좌표공간의 점 A(x1, y1, z1)를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 v = (a,b,c)에 평행한 직선 위의 임의의 점 P
  
  (x,y,z)에 대하여 = tv라 한다. 이때, v를 이 직선의 방향벡터(direction vector)라 한다.
  
  
  

  
  
  

  
  
  
  

• 따라서, 벡터방정식 는 다음과 같은 매개방정식으로 나타낼 수 있다.
  
  

  

  
  abc는 0이 아닐때, t를 소거하여 정리하면 직선의 대치방정식을 얻는다.
  

  
  

  
  즉, A(x1,y1,z1)을 지나 xy평면에 평행인 직선이다.
  
  

• 방향 벡터가 u와 v인 공간의 두 직선이 이루는 각 는 이 두 직선의 방향벡터가 이루는 각과 같으므로,  

  로 하고, 이 를 구하려면 이다. 따라서,

  로 나타낼 수 있다.
  
  
  
  




• 점 A(x1, y1, z1)를 지나, 영벡터가 아닌 h에 수직인 평면을 나타낸 것이다. 이 평면 위의 임의의 점을 P라
  
  하면, h는 수직이므로, 이다. 벡터 방정식을 h = (a,b,c)로 정하여 구하면
  
  

  

  으로 표현이 가능하다.

• 이러한 평면상의 방정식(ax+by+cz+d=0)을 이용하여, 점(x1, y1, z1)까지의 거리를 구하는 방정식은
  
  

  

   

참고 자료

1. "선형 대수학 -기초와 응용- " 김수현, 김시주, 심문식, 양영균, 엄미례, 이중호, 조동현, 조정래,  [북스힐]