[선형 대수학] 4.2 벡터의 내적과 코사인 법칙

벡터의 내적과 코사인 법칙

두 벡터 u와 v가 이루는 각의 크기가 θ(0≤θ≤π)일 때, u와 v의 내적(inner product, dot product)을 

u · v 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

u · v = ｜u｜｜v｜cos θ 

u = 0 또는 v = 0 일 때, u · v =0 으로 한다. 

같은 두 벡터의 내적은 두 벡터가 이룬 각의 크기가 0이므로, 

u · u = ｜u｜｜u｜cos 0 = ｜u｜｜u｜· 1

u · u = , 또 

영벡터가 아닌 두 벡터 u와 v가 수직이기 위한 필요충분조건은  이다.

영벡터가 아닌 두 벡터 u와 v가 평행이기 위한 필요충분조건은 

 이다. 

벡터의 내적을 벡터의 성분으로 나타내보자. 

영벡터가 아닌 두 벡터 u,v에 대하여 ,  = u,  = v, = θ 라 한다. 

에서 코사인 법칙을 적용하면,

이제 좌표평면에서 두 벡터 u,v를 라 하면, 

로 표현할 수 있다. 

벡터의 내적에 대해 다음과 같은 성질이 성립한다. 

(1) 

(2)  ( 교환 법칙 )

(3)  (분배 법칙)

(4)  (분배 법칙)

참고 자료

1. "선형 대수학 -기초와 응용- " 김수현, 김시주, 심문식, 양영균, 엄미례, 이중호, 조동현, 조정래,  [북스힐]